Equazioni delle tangenti condotte da un punto esterno ad
una circonferenza
Abbiamo visto
che quando una retta e' tangente ad una circonferenza
ha con essa
2 punti coincidenti in comune,
cioe' facendo il sistema fra la retta e la circonfernza il
discriminante
del sistema e' uguale a zero.
Ma allora, se considero il fascio di rette che esce dal punto e fra
tutte le rette scelgo quelle che in sistema con la circonferenza
hanno
il
uguale a zero trovero' le rette tangenti
in pratica ho ribaltato la frittata:
retta tangente =>
= 0
= 0 =>
retta tangente
Per trovare le rette tangenti condotte da un punto ad una
circonferenza-
considero il fascio di rette passanti per il punto
(dipendente da un parametro) e faccio il sistema
fra il fascio di rette e la circonferenza
(questo sistema mi rappresenta tutte le
intersezioni fra il fascio di rette e la circonferenza)
-
risolvo il sistema ed ottengo un'equazione detta equazione
risolvente
- pongo
il discriminante dell'equazione risolvente uguale a zero, ottengo
un'equazione con il parametro come incognita
-
risolvendo l'ultima equazione
trovo i valori del parametro corrispondenti alle
rette tangenti
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Vediamo di capire meglio il metodo con un esempio pratico:
Trovare le tangenti alla circonferenza
x2+
y2
-10y + 16 = 0
condotte dall'origine
O(0,0)
E' la circonferenza di centro C(0,5) e raggio 3
e' una circonferenza che
abbiamo gia'
incontrato
Per trovare l'equazione delle rette tangenti considero il
fascio di rette
con centro l'origine
y = mx
Faccio il sistema fra la circonferenza ed il fascio di rette
x2+
y2
-10y + 16 = 0
y = mx
Sostuisco
x2+
(mx)2
-10(mx) + 16 = 0
y = mx
Calcolo
x2+
m2x2
-10mx + 16 = 0
---------
Raccolgo i termini con x2, con x ed i termini noti ed
ottengo l'equazione risolvente
x2(1 +
m2)
-10mx + 16 = 0
Ora calcolo il discriminante (delta)
b2 - 4ac e lo pongo uguale a zero, in tal modo determino
i valori di m per cui le rette del fascio sono tangenti
9m2 - 16 = 0
calcoli
m2 = 16/9
m =
16/9 =
4/3
Le due rette tangenti sono:
y = 4/3 x y = -4/3 x
vediamo insieme un
esercizio
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