Fascio di circonferenze secanti E' il caso classico: in questo caso le due circonferenze di base hanno due punti comuni fra loro. Vediamo un esercizio completo Dato il fascio di circonferenze: (1+k)x2 + (1+k)y2 + 4(1-2k)x + 2(k-1)y -4(5+7k) = 0 trovare i punti base del fascio e controllare che la retta dei centri e' perpendicolare all'asse radicale delle due circonferenze Prima separiamo i termini contenenti il parametro da queli non contenenti il parametro x2 + kx2 + y2 +ky2 + 4x -8kx + 2ky -2y -20 -28k = 0 x2 + y2 + 4x -2y -20 + k(x2 + y2 -8x + 2y -28) = 0 Abbiamo quindi le due circonferenze di base x2 + y2 + 4x -2y -20 = 0 x2 + y2 -8x + 2y -28 = 0 Per trovare i punti base del fascio sostituiamo una delle due equazioni con l'asse radicale per avere un sistema piu' facile da risolvere Calcolo l'asse radicale sottraendo fra loro le due equazioni membro a membro x2 + y2 + 4x -2y -20 =0 x2 + y2 -8x + 2y -28 = 0             12x -4y + 8 = 0 Posso dividere per 4 ed ottengo l'equazione dell'asse radicale 3x -y + 2 = 0 Quindi, per trovare i punti comuni (punti base del fascio) risolvo il sistema 3x -y + 2 = 0 x2 + y2 + 4x -2y -20 =0        Calcoli e trovo come risultato A(-2;-4) B(1;5) Troviamo ora i centri delle due circonferenze e, quindi, la retta dei centri Prima circonferenza x2 + y2 + 4x -2y -20 = 0 troviamo il centro C1(-a/2;-b/2) essendo a = 4 e b = -2 C1(-2;1) Seconda circonferenza x2 + y2 -8x + 2y -28 = 0 troviamo il centro C2(-a/2;-b/2) essendo a = -8 e b = 2 C1(4;-1) Ora, per trovare la retta dei centri applichiamo la formula della retta per due punti y - y1 y2 - y1 = x - x1 x2 - x1 Ho x1 = -2   y1 = 1   x2 = 4   y2 = -1 y - 1 -1 -1 = x - (-2) 4 - (-2) y - 1 -2 = x + 2 6 6y -6 = -2x - 4 2x + 6y -2 = 0 divido per 2 x + 3y -1 = 0 la pongo in forma esplicita y = -1/3 x + 1/3 la confronto con la forma esplicita dell'asse radicale y = 3x + 2 essendo i coefficienti angolari -1/3 e 3 uno inverso ed opposto dell'altro le due rette sono perpendicolari fra loro come dovevamo verificare