Quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica: dimostrazione
Considero i numeri complessi
z1 = a + ib =
1 (cos 1
+ i sen 1)
z2 = c + id =
2 (cos 2
+ i sen 2)
Per trovare la regola eseguiamo il quoziente secondo la regola gia' trovata per i numeri in forma canonica
Z1 |
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1 (cos 1
+ i sen 1) |
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------- |
= |
------------------------------ |
= |
Z2 |
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2 (cos 2
+ i sen 2) |
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Razionalizzo, cioe' moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato (solo la parte dentro parentesi)
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1 (cos 1
+ i sen 1) |
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(cos 2
- i sen 2) |
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= |
------------------------------ |
· |
------------------------------ |
= |
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2 (cos 2
+ i sen 2) |
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(cos 2
- i sen 2) |
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eseguo i calcoli: al numeratore devo fare il prodotto normale, al denominatore e' un prodotto notevole
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1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 - i2
sen 1 sen 2) |
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= |
--------------------------------------------------------------------------- |
= |
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2 (cos2 2
- i2 sen2 2) |
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Ricordando che i2 = -1 posso scrivere
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1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 +
sen 1 sen 2) |
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= |
--------------------------------------------------------------------------- |
= |
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2 (cos2 2
+ sen2 2) |
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Al numeratore raggruppo le parti reali e le parti immaginarie
e poiche' per la prima relazione fondamentale della trigonometria si ha
cos2 2
+ sen2 2 = 1 posso scrivere
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1 [(cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2) +i (sen 1 cos 2 -cos 1 sen 2 )]
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= |
--------------------------------------------------------------------------- |
= |
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2 |
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Dentro la prima parentesi l'espressione e' il
coseno della differenza di due angoli
Dentro la seconda parentesi l'espressione e' il
seno della differenza di due angoli
quindi posso scrivere
=
1/2 [cos (1 - 2)
+ i sen 1-2 )]
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