Quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica: dimostrazione

Considero i numeri complessi

z1 = a + ib = 1 (cos 1 + i sen 1)
z2 = c + id = 2 (cos 2 + i sen 2)
Per trovare la regola eseguiamo il quoziente secondo la regola gia' trovata per i numeri in forma canonica
Z1 1 (cos 1 + i sen 1)
------- = ------------------------------ =
Z2 2 (cos 2 + i sen 2)
Razionalizzo, cioe' moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato (solo la parte dentro parentesi)
1 (cos 1 + i sen 1) (cos 2 - i sen 2)
= ------------------------------ · ------------------------------ =
2 (cos 2 + i sen 2) (cos 2 - i sen 2)
eseguo i calcoli: al numeratore devo fare il prodotto normale, al denominatore e' un prodotto notevole
1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 - i2 sen 1 sen 2)
= --------------------------------------------------------------------------- =
2 (cos2 2 - i2 sen2 2)
Ricordando che i2 = -1 posso scrivere
1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 + sen 1 sen 2)
= --------------------------------------------------------------------------- =
2 (cos2 2 + sen2 2)
Al numeratore raggruppo le parti reali e le parti immaginarie e poiche' per la prima relazione fondamentale della trigonometria si ha
cos2 2 + sen2 2 = 1 posso scrivere
1 [(cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2) +i (sen 1 cos 2 -cos 1 sen 2 )]
= --------------------------------------------------------------------------- =
2
Dentro la prima parentesi l'espressione e' il coseno della differenza di due angoli
Dentro la seconda parentesi l'espressione e' il seno della differenza di due angoli
quindi posso scrivere
= 1/2 [cos (1 - 2) + i sen 1-2 )]

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