Relazione di Stiefel


Dobiamo dimostrare che e' valida l'uguaglianza
( n
k
)
=
( n-1
k
)
+
( n-1
k-1
)

sviluppo il secondo termine e faccio vedere che e' uguale al primo
( n-1
k
)
+
( n-1
k-1
)
(n-1)!
= ---------------------- +
k! (n-1-k)!
(n-1)!
-------------------------- =
(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

(n-1)!
= ---------------------- +
k! (n-k-1)!
(n-1)!
-------------------------- =
(k-1)!(n-k)!

Ora raccolgo a fattor comune (n-1)!
=(n-1)! · 1
---------------------- +
k! (n-k-1)!
1
-------------------------- =
(k-1)!(n-k)!

Devo fare il minimo comune multiplo: ricordando che n!=n(n-1)! e (n-k)!=(n-k)(n-k-1)! mi conviene scrivere cosi' (in questo modo ho gli stessi termini al denominatore)
=(n-1)! · 1
---------------------- +
k(k-1)! (n-k-1)!
1
-------------------------- =
(k-1)!(n-k)(n-k-1)!

faccio il minimo comune multiplo k(k-1)!(n-k)(n-k-1)!
=(n-1)! · (n-k)+ k
---------------------------- =
k(k-1)!(n-k)(n-k-1)!

Sopra sommo e sotto ricordo che k(k-1)!=k! e che (n-k)(n-k-1)!=(n-k)!
Quindi ottengo
=(n-1)! · n
----------------- =
k!(n-k)!

n(n-1)!
= ----------------- =
k!(n-k)!

n!
= ----------------- =
k!(n-k)!
( n
k
)

Come volevamo

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