Relazioni fra coefficienti binomiali e potenza di un binomio Cerchiamo di capire il significato dei coefficienti binomiali; ad esempio iniziamo a vedere quelli per le combinazioni di due oggetti ( 2 1 ) = 2         ( 2 2 ) = 1         Calcoli Vediamo anche quelli per le combinazioni per 3 oggetti ( 3 1 ) = 3         ( 3 2 ) = 3         ( 3 3 ) = 1         Calcoli Se osservi questi numeri hanno qualcosa di familiare, e precisamente, a meno del primo termine, sono i coefficienti dello sviluppo del quadrato di un binomio e del cubo di un binomio Proviamo allora ad aggiungere al primo posto le combinazioni di di 2 e 3 oggetti di classe zero ( 2 0 ) = 1         ( 2 1 ) = 2         ( 2 2 ) = 1 ( 3 0 ) = 1         ( 3 1 ) = 3         ( 3 2 ) = 3         ( 3 3 ) = 1 Adesso vedi che le combinazioni corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio; ad esempio per le combinazioni su 4 oggetti avremo ( 4 0 ) = 1     ( 4 1 ) = 4     ( 4 2 ) = 6     ( 4 3 ) = 4     ( 4 4 ) = 1 Infatti la potenza quarta del binomio e' (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Dai un'occhiata all'applicazione delle combinazioni semplici per determinare l'insieme delle parti e guarda questo triangolo di Tartaglia Da qui il nome di coefficiente binomiale per la scrittura ( n k ) Esempio Calcolare (a+b)5 (a+b)5= = ( 5 0 ) a5·b0+ ( 5 1 ) a4·b1+ ( 5 2 ) a3·b2+ ( 5 3 ) a2·b3+ ( 5 4 ) a1·b4+ ( 5 5 ) a0·b5= = a5 + 5 a4 b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5