esercizio Trovare l'equazione della parabola con asse verticale che passa per i punti A=(4, 0) , B=(1, - 3) ed e' tangente alla retta y = -4 L'equazione generica della parabola con asse verticale e' y = ax2 + bx + c Condizione di passaggio per il punto A = ( 4, 0 ) sostituisco a x il valore 4 ed a y il valore 0 0 = a·42 + b·4 + c quindi la condizione richiesta e' 16a + 4b + c = 0 Condizione di passaggio per il punto B = ( 1, -3 ) sostituisco a x il valore 1 ed a y il valore -3 -3 = a·12 + b·1 + c quindi la condizione richiesta e' a + b + c = -3 Condizione di tangenza alla retta y = -4 Devo fare il sistema fra la retta e la parabola e quindi porre il delta dell'equazione risolvente uguale a zero y = ax2 + bx + c y = -4 sostituisco y = -4 nella prima equazione -4 = ax2 + bx + c -------------- ax2 + bx + (c+4) = 0 -------------- Calcolo il delta dell'equazione risolvente e lo pongo uguale a zero = b2 - 4a(c+4) = 0 b2 -4ac - 16a = 0 quindi la condizione richiesta e' b2 - 4ac - 16a = 0 Poiche' le tre condizioni devono valere contemporaneamente facciamo il sistema mettere link per trovare le incognite a,b e c 16a + 4b + c = 0 a + b + c = -3 b2 - 4ac - 16a = 0 sostituisco il valore di c ricavato dalla seconda equazione nella prima e terza equazione 16a + 4b + (-a -b -3) = 0 c = -a -b -3 b2 - 4a(-a -b -3) - 16a = 0 calcolo 16a + 4b + -a -b -3 = 0 ------------------ b2 + 4a2 + 4ab + 12a - 16a = 0 15a + 3b - 3 = 0 ------------------ b2 + 4a2 + 4ab - 4a = 0 posso semplificare per 3 la prima equazione 5a + b - 1 = 0 ------------------ b2 + 4a2 + 4ab - 4a = 0 ricavo b dalla prima equazione e sostituisco nella terza b = 1 - 5a ------------- (1-5a)2 + 4a2 + 4a(1-5a) - 4a = 0 ------------- ------------- 1 - 10a + 25a2 + 4a2 + 4a - 20a2 - 4a = 0 ------------- ------------- 9a2 - 10a + 1= 0 Risolvendo l'equazione ottengo due soluzioni     calcoli a = 1         a = 1/9 Significa che sono due le parabole che soddisfano le condizioni date; troviamole Prima parabola: sostituisco ad a il valore 1 b = 1 - 5a = 1 - 5 = -4 ------------- a = 1 b = -4 c = -a -b -3 = -1 + 4 -3 = 0 a = 1 b = -4 c = 0 a = 1 ordino a = 1 b = -4 c = 0 quindi la prima parabola e' y = x2 - 4x      disegniamola Seconda parabola: sostituisco ad a il valore 1/9 b = 1 - 5a = 1 - 5(1/9) = 1 - 5/9 = 4/9 ------------- a = 1/9 b = 4/9 c = -a -b -3 = -1/9 - 4/9 -3 = - 32/9 a = 1/9 b = 4/9 c = -32/9 a = 1/9 ordino a = 1/9 b = 4/9 c = -32/9 quindi la seconda parabola e' y = 1/9 x2 + 4/9 x - 32/9 9y = x2 + 4x - 32       disegniamola