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Formula di Bayes (teorema della probabilita' delle cause) La formula di Bayes e' detta anche teorema di Bayes in forma elementare Siano E1 ed E2 2 eventi qualsiasi abbiamo visto (proprieta' moltiplicativa) che vale P(E2) · P(E1|E2) = P(E1) · P(E2|E1) che posso anche scrivere come P(E1|E2) = P(E2|E1) · P(E1) ------------------------------- P(E2) Questa e' la cosiddetta formula di Bayes (o anche teorema di Bayes in forma elementare) Questa formula si puo' estendere ad un evento E riferito a piu' eventi tra loro indipendenti (teorema di Bayes) Dato l'evento E e gli eventi E1, E2, E3 ..... En che siano tra loro indipendenti ( Ej Ek = Ø per j,k=1,2,3,...n con j k ) allora vale la relazione P(E|Ej) P(Ej|E ) = P(Ej) · P(Ek) · P(E|Ek) Esercizio: Una fabbrica acquista dei pezzi lavorati presso 3 aziende A, B e C nelle percentuali del 20%, 30% e 50% rispettivamente ; sapendo che la percentuale di pezzi difettosi e' azienda A = 3% di pezzi difettosi azienda B = 4% di pezzi difettosi azienda C = 2% di pezzi difettosi Calcolare la probabilita' che, trovando un pezzo difettoso, esso provenga dall'azienda A Evento E il pezzo e' difettoso Evento E1 il pezzo proviene dall'azienda A Evento E2 il pezzo proviene dall'azienda B Evento E3 il pezzo proviene dall'azienda C applichiamo la formula di Bayes P(E|E1) P(E1|E ) = P(E1) · P(E1) ·P(E|E1) + P(E2) ·P(E|E2) + P(E3) ·P(E|E3) P(E1) = 20/100 = 1/5 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda A P(E2) = 30/100 = 3/10 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda B P(E3) = 50/100 = 1/2 probabilita' che il pezzo provenga dall'azienda C P(E|E1) = 3/100 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda A sia difettoso P(E|E2) = 4/100 = 1/25 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda B sia difettoso P(E|E3) = 2/100 = 1/50 probabilita' che il pezzo proveniente dall'azienda C sia difettoso P(E1|E) = probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda A 3/100 P(E1|E ) = 1/5 · = 1/5 · 3/100 + 3/10 · 1/25 + 1/2 · 1/50 3/500 3/500 = = = 3/500 + 3/250 + 1/100 14/500 = 3/500 · 500/14 = 3/14 = 0,214... ~ 21% La probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda A e' del 21% Per completare 1) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda B       Soluzione 2) calcolare la probabilita' che il pezzo difettoso provenga dall'azienda C       Soluzione