Mediane di un triangolo Chiamiamo l'angolo BMA, di conseguenza l'angolo CMA sara' 180- Applichiamo il teorema di Carnot ai triangoli BMA e CMA ricordando che essendo AM la mediana sara' BM = MC = a --- 2 Applico al triangolo BMA AB2 = AM2 + BM2 -2 AM BM cos sostituisco ai lati il loro valore c2 = ma2 + ( a --- 2 )2 - 2 ma a --- 2 cos c2 = ma2 +   a2 ---- 4   - a ma cos Ora applico il teorema di Carnot al triangolo CMA AC2 = AM2 + CM2 -2 AM CM cos(180-) sostituisco ai lati il loro valore b2 = ma2 + ( a --- 2 )2 - 2 ma a --- 2 cos(180-) Calcolando e ricordando che cos(180-) = - cos b2 = ma2 +   a2 ---- 4   + a ma cos Ora sommo termine a termine le due uguaglianze trovate b2 + c2 = ma2 +   a2 ---- 4   - a ma cos + ma2 +   a2 ---- 4   + a ma cos e sommando i termini simili trovo b2 + c2 =2 ma2 +  a2 ---- 2 Ora da questa uguaglianza ricavo ma cioe' il valore della mediana 2 ma2 = b2 + c2 - a2 ---- 2 ma2 = b2 ----- 2 c2 + -----  - 2 a2 ---- 4 ma2 = 2b2 + 2 c2 - a2 4 Estraggo la radice ed ottengo la formula finale ma = 2b2 + 2 c2 - a2 4 Siccome poso fare lo stesso ragionamento partendo da uno qualunque dei vertici del triangolo otteniamo le formule delle tre mediane del triangolo ma = 2b2 + 2 c2 - a2 4 mb = 2a2 + 2 c2 - b2 4 mc = 2a2 + 2 b2 - c2 4