cos ( - )

Consideriamo un cerchio trigonometrico.
Consideriamo l'angolo nel terzo quadrante e l'angolo nel secondo quadrante tali che la loro differenza, ( - ), sia un angolo del primo quadrante.
Il punto P sia il punto sulla circonferenza che corrisponde ad , Q il punto che corrisponde a e S il punto che corrisponde ad ( - ); inoltre sia A l'origine degli archi; le coordinate cartesiane di tali punti saranno:
P=(cos , sen )
Q=(cos , sen )
S=( cos(-) , sen(-) )
A=( 1,0 )
L'arco PQ sara'uguale all'arco AS perche' gli angoli al centro sono entrambe uguali ad ( - ) quindi avremo che anche per le corde
PQ = AS
applicando la formula per la distanza fra due punti nel piano per calcolare sia PQ che AS avremo
PQ = [(cos -cos )2 + (sen - sen )2]
AS =( [cos (- ) - 1]2 + [sen (-) - 0] )2
il -0 potevo tralasciarlo
uguaglio le due espressioni
[(cos -cos )2 + (sen - sen )2] = ( [cos (- )] - 1)2 + [sen (-)] )2

Eseguiamo i calcoli: io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare
tolgo le radici prima e dopo l'uguale

(cos -cos )2 + (sen - sen )2 = ( [cos - ] - 1)2 + [sen -)]2

Eseguo i quadrati

cos2 + cos 2 -2cos cos + sen2 + sen2 -2 sen sen =
= cos2 (- ) + 1 - 2 cos (- ) + sen2 (-)


Per la prima relazione fondamentale so che
cos2(angolo) + sen2(angolo) = 1 , quindi

1 + 1 -2cos cos -2 sen sen = 1 + 1 - 2 cos (- )

gli 1 si eliminano essendo di segno uguale da parti opposte dell'uguale

-2 cos cos -2 sen sen = - 2 cos (- )

sposto i termini dalla parte dell'uguale dove sono positivi

2 cos (- ) = 2 cos cos + 2 sen sen

divido tutto per 2 ed ottengo la prima formula

cos (- ) = cos cos + sen sen

La dimostrazione e' piuttosto pesante, pero' e' l'unica forma che si basa su una dimostrazione geometrica: le altre dimostrazioni saranno tutte algebriche e molto piu' semplici

Pagina iniziale Indice di algebra Pagina successiva Pagina precedente