esercizio x5 - 2x4 - 3x3 + 2x2 - 4x + 3 --------------------------------------- dx = x3 - 2x2 - x + 2 Eseguiamo la divisione fra polinomi x5 -2x4 -3x3 +2x2 -4x +3 | | x3 -2x2 -x +2 ---------------------- -x5 +2x4 +x3 -2x2 x2 - 2 ------------------------- = = -2x3 = -4x +3 +2x 3 -4x 2 -2x +4 ------------------------- = -4x2 -6x +7 Il quoziente vale x2 - 2 il resto vale -4x2 - 6x + 7 quindi, invece dell'integrale iniziale, posso calcolare gli integrali: -4x2 - 6x + 7 = ( x2 - 2)dx + ---------------------- dx x3 - 2x2 - x + 2 Il primo so calcolarlo, per il secondo devo applicare il metodo della scomposizione in frazioni di tipo elementare: considero il denominatore del secondo integrale x3 - 2x2 - x + 2 = Scompongo        calcoli = (x - 1)(x + 1)(x - 2) Le tre radici (reali e distinte) del denominatore sono 1, -1, 2 Posso scrivere la frazione come somma delle tre frazioni -4x2 - 6x + 7 A B C ---------------------- = --------- + --------- + --------- x3 - 2x2 - x + 2 (x - 1) (x + 1) (x - 2) Devo trovare A B e C A destra faccio il minimo comune multiplo -4x2 - 6x + 7 A(x + 1)(x - 2) +B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 1) ---------------------- = ----------------------------------------------------------- x3 - 2x2 - x + 2 (x - 1)(x + 1)(x - 2) Dopo un po' di calcoli ottengo     calcoli -4x2 - 6x + 7 x2(A + B +C) +x(-A - 3B) - 2A + 2B - C ---------------------- = ----------------------------------------------------------- x3 - 2x2 - x + 2 (x - 1)(x + 1)(x - 2) Vale il Principio di identita' dei polinomi: Due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali tutti i termine dello stesso grado quindi, essendo uguali i denominatori, perche' anche i numeratori siano uguali deve essere A + B + C = -4 -A - 3B = -6 - 2A + 2B - C = 7 Pongo a sistema le tre equazioni per calcolare A, B e C A + B + C = -4 -A - 3B = -6             Calcoli - 2A + 2B - C = 7 Ed ottengo A = 3/2 B = 3/2 C = -7 Quindi posso scrivere -4x2 - 6x + 7 3/2 3/2 -7 ---------------------- = --------- + --------- + --------- x3 - 2x2 - x + 2 (x - 1) (x + 1) (x - 2) o meglio -4x2 - 6x + 7 3 3 7 ---------------------- = --------- + --------- - --------- x3 - 2x2 - x + 2 2(x - 1) 2(x + 1) (x - 2) Quindi ottengo -4x2 - 6x + 7 = ( x2 - 2)dx + ---------------------- dx = x3 - 2x2 - x + 2 3 1 3 1 1 = x2dx - 2 dx + --- -------- dx + --- -------- dx - 7 -------- dx = 2 x - 1 2 x + 1 x - 2 x3 3 3 = --- - 2x + --- log |x-1| + --- log |x+1| - 7 log |x-2| + c 3 2 2