Aritmetica come esempio di sistema formale Costruiamo un sistema formale per l'aritmetica, cioe' un sistema di oggetti ed assiomi da cui si possa ricavare tutta l'aritmetica: aggiungiamo ai postulati di Peano alcuni assiomi che ci permettano di fare le operazioni. Chiameremo questa teoria formale Aritmetica e per indicarla utilizzeremo il simbolo A. Utlizziamo i simboli del linguaggio dei predicati (ripassa i simboli nella logica) cioe' con l'aggiunta dei simboli 1, +(addizione), ·(prodotto), '(successivo). Vediamo gli assiomi di A A1 x y z (x = y) => ((x = z) =>(y = z))         come si legge Cioe' se due oggetti (chiamiamoli numeri) sono uguali fra loro ed il primo e' uguale ad un terzo allora anche il secondo e'uguale al terzo A2 x y (x = y) => (x' = y') Se due numeri sono uguali fra loro allora anche i successivi sono uguali fra loro A3 x y (x' = y') => (x = y) Se due successivi sono uguali fra loro allora anche i numeri sono uguali A4 x not (1 = x') 1 non e' il successivo di nessun numero A5 x (x+1 = x') Il successivo di un numero si ottiene aggiungendo 1 al numero A6 x y (x+y' = (x+y)') La somma fra un primo numero ed il successivo di un secondo e' uguale al successivo della somma fra il primo ed il secondo A7 x (x·1 = x) Moltiplicando un numero per 1 otteniamo sempre lo stesso numero (1 e' l'elemento neutro nella moltiplicazione) A8 x y (x·y' = (x·y)+x) Il prodotto fra un numero ed il successivo di un secondo numero e' uguale al prodotto fra i due numeri sommato al primo numero A9 A(x)  A(1) => (A(x)=>A(x'))=> x A(x) E' il principio di induzione: data la proprieta' A(x) se essa e' vera per 1 e se essendo vera per x e' vera anche per il suo successivo allora essa e' vera per tutti i numeri Considerando i normali assiomi della logica, i postulati esposti sopra e le regole di deduzione possiamo dimostrare tutti i possibili problemi dell'Aritmetica Da notare che utilizzando i numeri di Gödel posso trovare un sottoinsieme di N che sia isomorfo ad A, quindi l'insieme N contiene tutta l'aritmetica come suo sottoinsieme