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Il problema delle prove ripetute


Uno dei problemi che capitano frequentemente nel calcolo di probabilita' e' quello di calcolare la probabilita' che un dato evento capiti k volte su n prove effettuate.
Esempio: Lanciando 5 volte un dado che probabilita' ho di ottenere 3 volte il valore 3?

Supponiamo, per iniziare, che mi interessi l'ordine di uscita e quindi il mio problema diventi, ad esempio:
Lanciando 5 volte un dado che probabilita' ho di ottenere prima due volte 3, poi due numeri diversi ed infine ancora il valore 3?

in questo caso il problema e' elementare:
deve uscire tre e poi deve uscire tre e poi deve uscire un numero diverso da 3 e poi deve uscire un numero diverso da 3 e poi deve uscire 3
3 3 a a 3
con a che indica un altro valore (diverso da 3)
Abbiamo quindi le probabilita'
1/6 probabilita' di uscita del valore 3
5/6 = 1-1/6 probabilita' di uscita di un numero diverso da 3 (probabilita' contraria dell'uscita del numero 3)
Applico il teorema della probabilita' composta ed ottengo
Probabilita' = 1/6 · 1/6 · 5/6 · 5/6 · 1/6 · = (1/6)3 · (5/6)2 = (1/6)3 · (5/6)5-3
Piu' in generale potremo scrivere
Probabilita' = pk · (1-p)n-k

Ora torniamo la nostro problema
Lanciando 5 volte un dado che probabilita' ho di ottenere 3 volte il valore 3?
se non mi interessa l'ordine di uscita allora ho le 10 possibilita'
 333aa    33a3a    3a33a    a333a    33aa3
3a3a3    a33a3    aa333    a3a33    3aa33
quindi avremo che le nostre probabilita' sono:
Probabilita' = ( 5
3
) · (1/6)3 · (5/6)5-3

Passando al caso generale potremo dire che la probabilita' che un dato evento capiti k volte su n prove effettuate sara'
Probabilita' = ( n
k
) · pk · (1-p)n-k

Se ora consideriamo il problema per i vari valori di k = 1, 2, 3, ..., n allora avremo una variabile aleatoria ( chiamiamola col nuovo termine Sn di possibili valori X1, X2, X3, .....Xn ) la cui rappresentazione sara' la distribuzione cercata

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