Esercizio di applicazione della formula di Newton

Calcolare

(a+b)10 =

Consideriamo la formula di Newton sostituendo ad n il valore 10

(a+b)10 = k=0,1,..9,10
( 10
k		 )
a10-kbk
Per calcolare i vari termini devo sostituire a k i valori 0,1,2,3,...9,10 e, sommando i risultati ottengo lo sviluppo del binomio
  1. Sostituisco 0
    ( 10
    0    		 )
    		a10-0 b0 = a10                      Calcolo del coefficiente
  2. Sostituisco 1
    ( 10
    1    		 )
    		a10-1 b1 = 10 a9 b               Calcolo del coefficiente
  3. Sostituisco 2
    ( 10
    2    		 )
    		a10-2 b2 = 45 a8 b2            Calcolo del coefficiente
  4. Sostituisco 3
    ( 10
    3    		 )
    		a10-3 b3 = 120 a7 b3            Calcolo del coefficiente
  5. Sostituisco 4
    ( 10
    4    		 )
    		a10-4 b4 = 210 a6 b4            Calcolo del coefficiente
  6. Sostituisco 5
    ( 10
    5    		 )
    		a10-5 b5 = 252 a5 b5            Calcolo del coefficiente
  7. Sostituisco 6
    ( 10
    6    		 )
    		a10-6 b6 = 210 a4 b6
  8. Sostituisco 7
    ( 10
    7    		 )
    		a10-7 b7 = 120 a3 b7
  9. Sostituisco 8
    ( 10
    8    		 )
    		a10-8 b8 = 45 a2 b8
  10. Sostituisco 9
    ( 10
    9    		 )
    		a10-9 b9 = 10 a b9
  11. Sostituisco 10
    ( 10
    10    		 )
    		a10-10b10 = b10
Dopo il sesto termine non calcolo piu' il coefficiente binomiale perche' si ripete (il triangolo di Tartaglia e' simmetrico)
ottengo quindi lo sviluppo
(a+b)10 = a10 + 10 a9 b + 45 a8 b2 + 120 a7 b3 + 210 a6 b4 +
+ 252 a5 b5 + 210 a4 b6 + 120 a3 b7 + 45 a2 b8 + 10 a b9 + b10