Disposizioni semplici Le disposizioni semplici su n oggetti sono i numeri delle coppie ordinate Dn;2, terne ordinate Dn;3, quaterne ordinate Dn;4,...,k-uple ordinate Dn;k che posso formare con n oggetti; Per trovare la formula procediamo con ordine, ad esempio su 5 oggetti a1, a2, a3, a4, a5 se considero gli elementi uno ad uno allora ho 5 possibilita' a1   a2   a3   a4   a5    D5;1 = 5 se considero le coppie ordinate , allora ad ogni elemento precedente ne devo aggiungere 4 (uno alla volta) a1 a2     a1 a3    a1 a4    a1 a5 a2 a1     a2 a3    a2 a4    a2 a5 a3 a1     a3 a2    a3 a4    a3 a5 a4 a1     a4 a2    a4 a3    a4 a5 a5 a1     a5 a2    a5 a3    a5 a4 cioe' D5;2 = 5·4 Se poi voglio le terne ordinate ogni coppia mi generera' tre possibili terne (mi restano tre numeri perche' due sono gia' nella coppia) D5;3 = 5·4·3 cosi' se voglio le quaterne ordinate ad ogni terna potro' aggiungere 2 oggetti diversi perche' 3 sono gia' nelle terne D5;4 = 5·4·3·2 concludendo se voglio le cinquine ordinate ad ogni quaterna potro' aggiungere solo 1 oggetto perche' 4 sono gia' nelle quaterne D5;5 = 5·4·3·2·1 Da notare che le disposizioni semplici di 5 oggetti presi 5 a 5 corrispondono alle permutazioni su 5 oggetti D5;5 = P5 = 5! = 5·4·3·2·1 Le permutazioni sono le disposizioni che posso fare considerando di prendere tutti gli oggetti Facciamo ora un riepilogo cercando la formula D5;1 = 5 D5;2 = 5·4 D5;3 = 5·4·3 D5;4 = 5·4·3·2 D5;5 = 5·4·3·2·1 Il primo numero della D corrisponde al primo numero del prodotto dopo l'uguale, dobbiamo trovare la corrispondenza fra il secondo numero prima dell'uguale ed un numero dopo l'uguale osserviamo che 5 - 1 + 1= 5 5 - 2 + 1 = 4 5 - 3 + 1 = 3 5 - 4 + 1 = 2 5 - 5 + 1 = 1 Quindi per ottenere l'ultimo numero del prodotto dopo l'uguale basta fare la differenza dei due numeri prima dell'uguale ed aumentarla di 1 Questo ci porta alla formula Dn;k = n·(n-1)·.......·(n-k+1) cioe' Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti presi k a k e' uguale al prodotto di tutti i numeri naturali compresi fra n ed (n-k+1) Chiamiamo "terna ordinata" un insieme di 3 numeri in cui conta l'ordine, cioe' 60,30,90 e' una terna diverso da 90,60,30 Per esercizio troviamo tutte le terne ordinate che possono uscire in un'estrazione su una ruota del lotto: sono le terne che possiamo formare con 90 oggetti, cioe' le diposizioni semplici di 90 oggetti presi tre a tre D90;3 = 90·89·.......·(90-3+1) = 90·89·88 = 704880 Prova ora a calcolare il numero delle cinquine ordinate che possono uscire in una estrazione del lotto