esercizio

risolvere l'equazione:

sen x - cos x = 2 cos2x - sen 2x

Abbiamo l'angolo x e l'angolo 2x; riduciamo allo stesso angolo x (formule di duplicazione)

sen x - cos x = 2 cos2x - 2 sen x cos x

portiamo tutto prima dell'uguale

sen x - cos x - 2 cos2x + 2 sen x cos x = 0

sono 4 termini: e' un raccoglimento parziale: raccolgo sen x fra il primo ed il quarto e - cos x fra il secondo ed il terzo

sen x (1 + 2 cos x) - cos x ( 1 + 2 cos x) = 0

ora raccolgo la parentesi

(1 + 2 cos x) (sen x - cos x) = 0
come nell'altro esercizio se ti e' difficile scomporre con sen x e cos x sostituiamo delle lettere e scomponiamo
sen x = a
cos x = b

otteniamo
a - b - 2b2 + 2ab = 0
raccolgo a fra il primo ed il quarto e -b fra il secondo ed il terzo termine
a(1 + 2b) - b(1 + 2b) = 0
(1 + 2b) (a - b) = 0

poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le due equazioni
  • 1 + 2 cos x = 0
  • sen x - cos x = 0
  • risolvo la prima
    1 + 2cos x = 0
    ricavo cos x
    2cos x = -1
    cos x = - 1/2
    so che il coseno vale -1/2 per l'angolo di 120°, quindi
    x = 120° + k 360°

  • risolvo la seconda
    sen x - cos x = 0
    e' un'equazione lineare omogenea dividiamo per cos x
    sen x cos x 0
    ---------- - ---------- = ----------
    cos x cos x cos x
    Ricordando che seno fratto coseno vale tangente
    tang x - 1 = 0
    tang x = 1
    so che la tangente vale 1 per l' angolo di 45° quindi posso scrivere
    x = 45° + k 180°
    controllo che cos x = 0 non sia soluzione: cos x = 0 corrisponde a x= 90° sostituisco nell'equazione
    sen 90° - cos 90° = 0
    1 + 0 = 0
    impossibile

Raccogliendo ho quindi le soluzioni
x = 45° + k 180°
x = 120° + k 360°