Relazione fra raggio del cerchio e lati del triangolo inscritto


Teorema:
Il raggio del cerchio in cui e' inscritto un triangolo e' uguale al prodotto dei lati fratto 4 volte l'area del triangolo stesso.

cioe' chiamate a, b e c le misure dei lati del triangolo e chiamata As la sua area vale la relazione:

r = a b c
-----------
4As
Poniamo
BC = a___
AC = b___
AB = c___

Dimostrazione
Considero l'altezza del triangolo ABC sul lato BC e la chiamo h
AH = h___
Ora dal punto A traccio il diametro AD della circonferenza
AD = 2r___
Congiungendo D con C ottengo il triangolo ADC
Considero ora i triangoli ABH ed ADC essi hanno:
AHB = ADC^^ perche' retti

ABC = ADC^^ perche' angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AC:

quindi i due triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine e posso scrivere:
AB : AD = AH : AC
utilizzando le misure
c : 2r = h : b
2rh = bc
moltiplico entrambe i membri per a
2arh = abc
Ma ah/2 e' l'area As del triangolo
quindi 2ah e' 4 volte l'area 4As
r·4As = abc
ricavo r
r = abc
----------
4 As
come volevamo

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