Consideriamo un triangolo qualunque: esso avra' comunque due angoli acuti: chiamiamoli B e C e consideriamo la figura:

Nota: se metto al posto di B oppure C un angolo ottuso invece delle somme nella dimostrazione dovro' fare le differenze
Abbiamo come misure note:
AB = c
BC = a
CA = b
Perimetro = 2p
p = semiperimetro

Considero la perpendicolare AH a BC e pongo AH = h e HC = d; quindi AH = a-d
Per trovare l'area devo trovare il valore dell'altezza mediante i dati noti a, b e c: prima calcolo le due parti AH ed HC della base, poi, tramite questi, calcolo il valore dell'altezza h
  1. Calcolo il valore di HC = d
    Il triangolo ABH e' rettangolo per costruzione, quindi posso applicare il teorema di Pitagora
    c2 = (a-d)2 + h2 =a2 - 2ad + d2 + h2=
    ma siccome anche il triangolo AHC e' rettangolo so che vale
    d2 + h2 = b2 ed ottengo
    c2 = a2 - 2ad + b2
    Ricavo d
    2ad = a2 + b2 -c2
    d = a2 + b2 -c2
    ----------------------
    2a
  2. Questo valore trovato mi da' anche il valore di BH infatti
    BH = a - d = a - a2 + b2 -c2
    ----------------- =
    2a     		2a2 - a2 - b2 + c2
    ----------------------- =
    2a     		a2 + c2 - b2
    ----------------------- =
    2a
  3. Calcolo ora il valore di h
    Il triangolo ACH e' rettangolo per costruzione, quindi posso applicare il teorema di Pitagora
    h2 = b2 - d2 =
    sostituisco a d il valore trovato prima
    h2 = b2 - a2 + b2 - c2
      [ ----------------- ]2 =
    2a

    Eseguo il quadrato al denominatore e faccio il minimo comune multiplo

    = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2
       ------------------------------- =
    4a2

    Sopra posso scomporre come differenza di due quadrati

    [2ab + (a2 + b2 - c2)]·[2ab - (a2 + b2 - c2)]
    = ---------------------------------------------------------- =
    4a2

    Tolgo le parentesi interne

    [2ab + a2 + b2 - c2][2ab - a2 - b2 + c2]
    = ---------------------------------------------------------- =
    4a2

    Posso raccogliere dentro parentesi i termini che sono quadrati di un binomio

    [ (a2 + 2ab + b2) - c2][-(a2 - 2ab + b2) + c2]
    = ---------------------------------------------------------- =
    4a2

    [(a+b)2 - c2)][ c2 -(a-b)2]
    = -------------------------------------------  
    4a2

    Scompongo ancora come differenza di quadrati entro le parentesi quadre ed ottengo

    h2 (a+b+c)·(a+b-c)·(c+a-b)·(c-a+b)
    = ------------------------------------------- =
    4a2

    Ora abbiamo che, per ogni fattore trovato vale
    a+b+c = 2p
    a+b-c = a+b+c - 2c = 2p - 2c
    c+a-b = a+c-b= a+b+c - 2b = 2p -2b
    c-a+b = c+b-a = a+b+c - 2a = 2p -2a
    Quindi, sostituendo ottengo
    h2 2p·(2p-2c)·(2p-2b)·(2p-2a)
    = ------------------------------------------- =
    4a2

    Raccolgo i 2 dentro parentesi, li porto fuori e li motiplico

    h2 16p·(p-c)·(p-b)·(p-a)
    = ----------------------------- =
    4a2

    semplifico per 4

    4p·(p-c)·(p-b)·(p-a)
    = -------------------------------
    a2

    Estraendo la radice ottengo il valore di h

    h = 2
    p(p-a)(p-b)(p-c)
    a
Ora possiamo trovare il valore dell'area
As = a · h
----------- =
2


a · 2
= -------
2
p(p-a)(p-b)(p-c)
a


E quindi, semplificando

As =
p(p-a)(p-b)(p-c)


Come vedi, se la formula non viene dimostrata c'e' la buona ragione che la di mostrazione e' troppo complicata: e' per questo che io chiamo la formula "famigerata" perche' si sa che esiste sin dalla scuola media, pero' non si dimostra mai