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Problema Dato il triangolo ABC si consideri la mediana AD. Per il punto E, preso su BC si tracci la parallela ad AD che interseca le rette AC ed AB nei punti F e G. Dimostrare che vale EF+EG=2AD Costruiamo prima di tutto la figura 
Essendo EG parallela ad AD si formano due coppie di triangoli simili; cioe' ABD simile a GBE CFE simile a CAD considero i triangoli ABD e GBE, essi sono simili perche' hanno l'angolo in B in comune ed i due lati opposti a tale angolo paralleli Il fatto di avere lati paralleli comporta sempre l'avere angoli congruenti Quindi posso scrivere la proporzione BD : BE = AD : EG considero i triangoli CFE e CAD, essi sono simili perche' hanno l'angolo in C in comune ed i due lati opposti a tale angolo paralleli Quindi posso scrivere la proporzione EC : CD = EF : AD Ho quindi ottenuto le due proporzioni BD : BE = AD : EG EC : CD = EF : AD nella prima applico la proprieta' dell'invertire in modo da avere AD come ultimo termine BE : BD = EG : AD EC : CD = EF : AD essendo le proporzioni delle uguaglianze posso fare la somma termine e termine ed ottenere ancora una proporzione valida BE : BD = EG : AD EC : CD = EF : AD (BE+EC):(BD+CD) = (EG+EF):(AD+AD) Ma vale: BE + EC = BC BD + CD = BC Quindi posso scrivere BC:BC = (EG+EF):2AD Ed essendo uguali i primi due termini della proporzione dovrenno essere uguali fra loro anche il terzo ed il quarto termine, cioe' EG + EF = 2AD come volevamo dimostrare |