Considerato il triangolo rettangolo ABC retto in A, e, dal punto A tracciata la perpendicolare al lato BC sino ad incontrarlo nel punto H, mostrare che i triangoli ACH ed ABH sono simili e scrivere le proporzioni fra i lati corrispondenti

Intanto disegniamo la figura:
Ipotesi:
BAC^ = angolo retto
AH perpendicolare a BC
Tesi:
i triangoli BAH ed AHC sono simili

Mostriamo che sono triangoli simili, utilizzando il primo criterio di similitudine, poi scriviamo la proporzione:

Considero i triangoli ABH ed AHC:
essi hanno
BHA = AHC^ ^perche' angoli retti (per ipotesi)
Se sommo l'angolo ABH^ con l'angolo BAH^ ottengo un angolo retto
Se sommo l'angolo CAH^ con l'angolo BAH^ ottengo ancora un angolo retto
Quindi ABH = CAH^ ^perche' complementari dello stesso angolo (cioe' con lo stesso angolo BAH^formano un angolo retto)
Quindi i due triangoli, avendo due angoli congruenti sono simili per il primo criterio di similitudine
Metto gli angoli uguali corrispondenti in verticale

    A         B         H    
    C         A         H    

ora per scrivere la proporzione prendo due lettere sopra ed in corrispondenza le due lettere sotto:

AB : CA = BH : AH = AH : CH


Da notare che il prendere due lettere sopra e le lettere corrispondenti sotto equivale a prendere segmenti opposti ad angoli uguali: infatti se, ad esempio sono uguali gli angoli H allora nel primo triangolo togliendo H avremo AB e nel secondo togliendo H avremo CA e noi scriviamo AB:CA
Togliere H significa prendere il segmento di fronte all'angolo H
Se considero A nel primo triangolo ed il suo uguale C nel secondo triangolo allora togliendo A nel primo triangolo ottengo BH e togliendo C nel secondo triangolo ottengo AH quindi scrivo BH:AH
In un problema reale prenderemo solo parte della proporzione e precisamente quella parte in cui conosciamo 3 elementi: due elementi del primo triangolo ed uno del secondo (o viceversa)