Teorema

in ogni rettangolo le diagonali sono congruenti
e viceversa
se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti allora il parallelogramma e' un rettangolo
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
in ogni rettangolo le diagonali sono congruenti

ipotesi
   ABCD   rettangolo   
tesi
   AC = BD   


Nell'ipotesi e' compreso il fatto che sia un parallelogramma (con tutte le sue proprieta') ed abbia i quattro angoli congruenti; non scrivo tutto perche' mi ci vuole mezza pagina
Dimostrazione
considero i triangoli ABC e BCD; (per renderteli piu' chiari nella figura li ho estratti)
essi hanno:
  • ABC^= BCD^per ipotesi
  • AB = CD perche' lati opposti di un parallelogramma
  • il lato BC in comune
Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli (due lati ed un angolo) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare AC = BD come volevamo
teorema inverso
se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti allora il parallelogramma e' un rettangolo

ipotesi
  ABCD   parallelogramma  
   AC = BD   
tesi
  ABC^= BCD^  
 


nella tesi ho messo solo la congruernza fra due angoli successivi perche' nei parallelogrammi gli angoli opposti sono congruenti
Dimostrazione
considero i triangoli ABC e BCD; (per renderteli piu' chiari nella figura li ho estratti)
essi hanno:
  • AC = BD per ipotesi
  • AB = CD perche' lati opposti di un parallelogramma
  • il lato BC in comune
Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli (tre lati) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare ABC^= BCD^ AC = BD come volevamo