Teorema

In un parallelogramma le diagonali si tagliano a meta'
e viceversa
Se in un quadrilatero le diagonali si tagliano a meta' allora il quadrilatero e' un parallelogramma
Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso
teorema diretto
In un parallelogramma le diagonali si tagliano a meta'

ipotesi
  AB // CD    BC // AD  
tesi
  AO = OC    BO=OD  


Dimostrazione
traccio le diagonali AC e BD e considero i due triangoli AOD e BOC; essi hanno:
  • l'angolo DAO^ congruente all'angolo OCB^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BD tagliate dalla trasversale AC
  • l'angolo ADO^ congruente all'angolo OBC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD
  • il lato AD e' congruente al lato BC per il primo dei teoremi dimostrati
Quindi i due triangoli AOD e BOC sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (un lato e due angoli), in particolare avranno AO=OC e BO=OD, come volevamo
teorema inverso
Se in un quadrilatero le diagonali si tagliano a meta' allora il quadrilatero e' un parallelogramma

ipotesi
  AO = OC    BO=OD  
tesi
  AB // CD    BC // AD  


Dimostrazione
considero i triangoli AOD e BOC, essi hanno
  • AO = OC per ipotesi
  • BO = OD per ipotesi
  • AOD^ = BOC^ perche' opposti al vertice

I due triangoli AOD e BOC sono congruenti per il primo criterio e quindi hanno congruenti tutti gli elementi; in particolare:

essendo l'angolo ODA^ congruente all'angolo OCB^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette AD e BC tagliate dalla trasversale BD allora le due rette AD e BC saranno parallele

Basta ora considerare i triangoli AOB e COD e ripetere lo stesso ragionamento per dimostrare il parallelismo fra le rette AB e CD
come volevamo
Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti