Teorema In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti e viceversa Se in un quadrilatero i lati opposti sono congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso teorema diretto in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti ipotesi   AB // CD    BC // AD   tesi    AB = CD    BC = AD Dimostrazione congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno: ABD^e' congruente a BDC^perche' alterni interni rispetto alle parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BD ADB^e' congruente all'angolo DBC^perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD il lato BD in comune Quindi i due triangoli ABD e BCD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (un lato e due angoli) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi, in particolare AB = CD e BC = AD come volevamo teorema inverso Se in un quadrilatero i lati opposti sono congruenti allora il quadrilatero e' un parallelogramma ipotesi   AB = CD    BC = AD   tesi    AB // CD    BC // AD Dimostrazione congiungo i punti B e D ed ottengo i due triangoli ABD e BDC; essi hanno: il lato AB congruente al lato CD per ipotesi il lato BC congruente al lato AD per ipotesi il lato BD in comune Quindi i due triangoli ABD e BCD sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli (tre lati) e quindi hanno congruenti tutti gli elementi; in particolare: essendo l'angolo ABD^ congruente all'angolo BDC^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette AB e CD tagliate dalla trasversale BD allora le due rette AB e CD saranno parallele essendo l'angolo ADB^ congruente all'angolo DBC^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette BC e AD tagliate dalla trasversale BD allora le due rette BC e AD saranno parallele come volevamo Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti