In un triangolo isoscele l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte dal vertice opposto alla base sono coincidenti So che il triangolo e' isoscele e ne considero l'altezza, dimostro che allora e' anche mediana e bisettrice posso anche prendere per ipotesi che il triangolo e' isoscele e considerarne la mediana oppure prendere il triangolo isoscele e considerarne la bisettrice Quindi ho tre possibili dimostrazioni So che il triangolo e' isoscele e ne considero l'altezza Ipotesi AB=AC   ABC=ACB AHB=AHC=angolo retto Tesi BH=HC   AHB=AHC Dimostrazione: Dimostriamo prima che e' mediana: essendo AH l'altezza BH e HC sono le proiezioni di due segmenti AB e AC congruenti per ipotesi e quindi sono congruenti BH ed HC (teoremi precedenti sulle proiezioni) Dimostriamo che e' bisettrice: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno AB=AC per ipotesi BH=HC perche' appena dimostrato AH in comune Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio ed in particolare avremo gli angoli AHB ed AHC congruenti fra loro So che il triangolo e' isoscele e ne considero la mediana Ipotesi AB=AC   ABC=ACB AH=HC Tesi BAH=CAH   AHB=AHC Dimostrazione: considero i triangoli AHB ed AHC essi hanno: AB=AC per ipotesi AH e' in comune BH=HC sempre per ipotesi Per il terzo criterio i due triangoli sono congruenti ed in particolare avremo gli angoli BAH=CAH ed anche gli angoli AHB=AHC che quindi saranno retti So che il triangolo e' isoscele e ne considero la bisettrice Ipotesi AB=AC   ABC=ACB   AHB=AHC Tesi BAH=CAH   AH=HC Dimostrazione: considero i triangoli AHB ed AHC essi hanno: AB=AC per ipotesi gli angoli ABC=ACB sempre per ipotesi gli angoli AHB=AHC ancora per ipotesi Per il secondo criterio i due triangoli sono congruenti ed in particolare sara' BH=CH ed anche gli angoli AHB=AHC che quindi saranno retti