Equazione della circonferenza passante per un punto e tangente a due rette assegnate

Trovare l'equazione della circonferenza passante per il punto
A(1,0)
e tangente alle rette
y = 0
y = -x
E' difficile incontrare un problema del genere per le difficolta' di calcolo che si incontrano: infatti la tangenza ad una retta si traduce in una condizione di secondo grado, quindi l'equazione risolvente sara' generalmente di quarto grado, noi facciamo un caso particolare
Prendo l'equazione generica della circonferenza
x2+ y2 + ax + by + c = 0
  • Prima condizione: passaggio per A=(1,0)
    Sostituisco le coordinate nell'equazione della circonferenza
    12+ 02 + a(1) + b(0) + c = 0
    1 + a + c = 0
    a + c = -1
  • seconda condizione: tangenza alla retta y = 0
    Devo fare il sistema ed imporre che il delta sia uguale a zero
    x2+ y2 + ax + by + c = 0
    y = 0
    sostituisco
    x2+ (0)2 + ax + b(0) + c = 0
    y = x
    calcolo l'equazione risolvente
    x2 + ax + c = 0

    pongo il delta uguale a zero
    a2 - 4·c = 0
    a2 - 4c = 0

  • terza condizione: tangenza alla retta y = -x
    Devo fare il sistema ed imporre che il delta sia uguale a zero
    x2+ y2 + ax + by + c = 0
    y = - x
    sostituisco
    x2+ (-x)2 + ax + b(-x) + c = 0
    y = - x
    calcolo l'equazione risolvente
    x2 + x2 + ax - bx + c = 0
    2x2 + x(a -b) + c = 0
    pongo il delta uguale a zero
    (a - b)2 - 4·2·c = 0
    a2 - 2ab + b2 - 8c = 0
    a2 + b2 - 2ab - 8c = 0

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente; faccio il sistema
a + c = -1
a2 - 4c = 0
a2 + b2 - 2ab - 8c = 0
 Ricavo c dalla prima equazione e sostituisco nelle altre
c = -1 - a
a2 - 4(-1 -a) = 0
b2 - 2ab - 4(-1 -a) = 0


c = -1 - a
a2 + 4 + 4a = 0
b2 - 2ab + 4 + 4a = 0
Il primo termine della seconda equazione e' un quadrato
c = -1 - a
(a + 2)2 = 0
b2 - 2ab + 4 + 4a = 0
Risolvo la seconda equazione
c = -1 - a
a = -2
b2 - 2ab + 4 + 4a = 0
Sostituisco il valore di a trovato nella prima e nella terza equazione

c = -1 + 2
a = -2
b2 + 4b + 4 - 8 = 0

c = 1
a = -2
b2 + 4b - 4 = 0
Risolvo la terza equazione del sistema con la formula per le equazioni di secondo grado
c = 1
a = -2
b1,2 = -2 (22 + 4)
 Ho usato la formula ridotta
c = 1
a = -2
b1,2 = -2 8
 estraggo di radice
c = 1
a = -2
b1,2 = -2 22
ottengo due soluzioni (significa che due circonferenze diverse soddisfano le condizioni richieste)
I Sol= c = 1
a = -2
b = -2 + 22 		II Sol= c = 1
a = -2
b = -2 - 22


Le equazioni delle due circonferenze sono
x2+ y2 -2x +(-2+22)y + 1= 0
x2+ y2 -2x +(-2-22)y + 1= 0
 cioe'
x2+ y2 -2x -(2-22)y + 1= 0
x2+ y2 -2x -(2+22)y + 1= 0