Equazione di Bernoulli E' un'equazione che si puo ridurre ad un equazione lineare La nostra equazione e' : y' + p(x) y = q(x) yn Con p(x) e q(x) funzioni continue Per risolverla dividiamo tutto per yn y' ------ yn + p(x) y ------ yn = q(x) semplifico y' ------ yn + p(x) 1 ------ yn-1 = q(x) ora pongo 1 ------ yn-1 = z equivale a dire z = y1-n da cui ottengo, derivando (ricorda che y e' una funzione e quindi devi terminare con y'): z' = (1-n) y' ----- yn quindi sostituisco nel primo passaggio dell'equazione 1 a  ------     yn-1 = z     ed a    y' ----- yn   =   z' ----- 1-n ed ottengo z' ------ 1-n + z p(x) = q(x) o meglio, facendo il minimo comune multiplo z' + (1-n) p(x) z = (1-n)q(x) che e' una funzione lineare non omogenea del primo ordine Risolviamo l'equazione y' + xy = x y2 Per risolverla divido tutto per y2 y' ------ y2 + x y ------ y2 = x semplifico y' ------ y2 + x 1 ------ y = x pongo 1 ------ y = z da cui z' = - y' ----- y2 e quindi sostituendo -z' + xz = x o meglio z' - xz = - x applichiamo la formula risolutiva z = c e- - x dx x · e x dx dx + k = L'integrale di x e' x2 /2 z = c e(x2)/2 x · e (x2) /2 dx + k = Risolviamo l'integrale per sostituzione ed otteniamo = c e(x2) /2 e(x2) /2 + k = moltiplichiamo = c e(x2) /2 + (x2) /2 + ck e(x2) /2 = ed otteniamo l'integrale generale = c ex2 + ck e(x2) /2 con c e k costanti