Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine omogenee Diremo che un'equazione differenziale e' omogenea del primo ordine se e' del tipo y' = P(x,y) ----------- Q(x,y) Con P(x,y) e Q(x,y) polinomi omogenei dello stesso grado Un polinomio e' omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado; se un'equazione e' omogenea le sue soluzioni oltre le nulle sono del tipo y = kx con k costante Per risolvere un'equazione di questo tipo consideriamo la variabile ausiliaria u = y ---- x e quindi lasceremo le x ed al posto delle y avremo: y = ux       dy = xdu+udx In questo modo l'equazione diventa a variabili separabili, separeremo le x dalle u ed integreremo; dopo risostituiremo alla u il valore y/x Vediamolo su un esempio: risolvere l'equazione differenziale y'(x2 - y2) = xy      con x2 - y20 scriviamola nella forma tipica y' = xy ------------ x2 - y2 cioe' dy ----- dx = xy ------------ x2 - y2 Ora sostituisco a y e dy la nuova variabile xdu + udx --------------- dx = x ·ux -------------- x2 - u2x2 xdu + udx --------------- dx = ux2 -------------- x2(1 - u2) semplifico gli x2 dopo l'uguale xdu + udx --------------- dx = u -------------- 1 - u2 Facciamo il minimo comune multiplo (1 - u2)(xdu+udx) = u dx calcolo xdu + udx - u2xdu - u3dx = udx elimino udx xdu - u2xdu - u3dx = 0 Sposto il termine con dx dopo l'uguale xdu - u2xdu - u3dx = 0 xdu - u2xdu = u3dx raccolgo la xdu prima dell'uguale xdu(1 - u2) = u3dx separiamo le variabili: otteniamo (1 - u2)du ----------- u3 = dx ------ x ora integriamo da entrambe le parti; prima dell'uguale separo i termini della somma du ----- u3 - du ----- u = dx ----- x sono tutti integrali immediati ed otteniamo -1 ----- 2u2 - log u = log x + c Mettiamo la costante come logaritmo c=log k -1 ----- 2u2 - log u = log x + log k -1 ----- 2u2 = log u +log x + log k usando la proprieta' del logaritmo di un prodotto -1 ----- 2u2 = log (kux) Ora metto y/x al posto di u -x2 ----- 2y2 = log (ky) Quindi l'integrale generale e' -x2 ----- 2y2 = log (ky)