Quarto tipo Studiare questo e' da paranoici: non ho mai visto farlo in nessun ordine di scuola, anche perche' poi, se si da' come esercizio, bisogna correggerlo; comunque se pensi che il tuo Prof. sia abbastanza matto da darti un esercizio del genere qui di seguito metto la dimostrazione, ed in fondo alla dimostrazione metto la formula risolutiva Devo risolvere Ax + B ------------------ dx = (x2 + px + q)n Procediamo esattamente come nell'integrale del terzo tipo (se questa parte l'hai gia' fatta e capita saltala pure) pero' ripassarla non fa mai male voglio che al denominatore, dentro parentesi, vi sia un termine al quadrato, perche' con i termini al quadrato ho alcuni integrali che so risolvere: x2 e' il quadrato del primo termine, px sara' il doppio prodotto quindi devo aggiungere [e togliere] (p2/4) p2 p2 x2 + px + q = x2 + px + ---- - ---- + q = 4 4 quindi ottengo p p2 = (x + ---- )2 + q - ---- = 2 4 [q - (p2/4)] e' una costante positiva quindi possiamo chiamarla k2 ed ottengo: p x2 + px + q = (x + ---- )2 + k2 2 Ora cerco di trasformare il numeratore in modo che vi compaia la derivata del denominatore iniziale [2x + p] (in questo modo potro' poi dividere l'integrale in due integrali piu' semplici Al numeratore pongo: Ax + B = A = --- (2x) + B = 2 per avere la derivata (a meno del fattore A/2) devo aggiungere e togliere (Ap)/2 A A A = --- (2x) + B + --- p - --- p = 2 2 2 A A = --- (2x + p) + B - --- p 2 2 Quindi posso scrivere (A/2)(2x + p) + B -(A/2)p = ------------------------------- dx = (x2 + px + q)n spezzo l'integrale (A/2)(2x + p) B -(A/2)p = --------------------- dx + ---------------------- dx = (x2 + px + q)n (x2 + px + q)n Estraggo le costanti e nel secondo integrale sostituisco il denominatore con l'espressione trovata prima A 2x + p A 1 = --- --------------------- dx + (B - ---- p) ---------------------- dx = 2 (x2 + px + q)n 2 [ (x + p/2)2 + K2]n Devo risolvere questi due integrali il primo e' un integrale che posso fare per sostituzione: A 2x + p --- --------------------- dx = 2 (x2 + px + q)n Pongo x2 + px + q = t faccio il differenziale da una parte e dall'altra dell'uguale (2x + p)dx = dt ricavo dx dt dx = ------- 2x+ p Sostituisco quello che posso nell'integrale di partenza A 2x + p dt --- --------------------- --- = 2 tn 2x + p Semplifico 2x + p ed ottengo A 1 = --- ------- dt = 2 tn Porto la variabile t al numeratore cambiando di segno l'esponente A A t-n+1 --- t-n dt = --- ------- 2 2 -n + 1 Ora sostituisco a t il suo valore ed ottengo il risultato A (x2 + px + q)-n+1 = --- ---------------------- = 2 1 - n o meglio, cambiando di segno l'esponente per riportare al denonimatore A = ---------------------------- 2(1 - n)(x2 + px + q)n-1 Considero il secondo: A 1 = (B - ---- p) ---------------------- dx = 2 [ (x + p/2)2 + k2]n Facciamo anche questo per sostituzione: poniamo Pongo x + p/2 = kt (in questo modo k potra' essere raccolta con quella vicina ed estratta dalla potenza e dall'integrale) faccio il differenziale da una parte e dall'altra dell'uguale dx = kdt Sostituisco quello che posso nell'integrale di partenza A 1 = (B - ---- p) ---------------------- k dt = 2 (k2t2 + k2)n estraggo la costante k dalla potenza A 1 = (B - ---- p) ----------------- k dt = 2 k2n(t2 + 1)n Estraggo le costanti dall'integrale A k 1 = (B - ---- p) ----- ----------------- dt = 2 k2n (t2 + 1)n semplifico A 1 1 = (B - ---- p) ------- ----------------- dt = 2 k2n-1 (t2 + 1)n metto la costante iniziale in modo piu' compatto semplifico (2B - Ap)k 1 = ------------- ----------------- dt = 2k2n (t2 + 1)n Per semplicita' continuo l'integrale senza considerare le costanti 1 ----------------- dt = (t2 + 1)n Provo l'integrazione per parti per vedere se riesco ad abbassare di grado l'espressione: dalla formula f·g = f·g - ( f '· g) Ricordando che 1 ----------- = (t2 + 1)-n (t2 + 1)n pongo f = (t2 + 1)-n g = 1 quindi ottengo = (t2 + 1)-n 1 dt - [-n(t2 + 1)-n - 1 ·2t 1 dt] dt= Il 2t prima dell'ultimo integrale deriva dal fatto che ho derivato una funzione di funzione: derivata di (t2 + 1)-n = -n(t2 + 1)-n - 1 ·2t Porto il meno fuori dall'integrale ed integro i dt = (t2 + 1)-n ·t + n(t2 + 1)-n - 1 ·2t·t dt= = t(t2 + 1)-n + 2 t2(t2 + 1)-n - 1 dt= Se ora lo riporto a forma frazionaria t t2 = --------- + 2n ------------- dt = (t2 + 1)n (t2 + 1)n+1 Nell'integrale applico il metodo di aggiungere e togliere per semplificare con il denominatore (questo metodo lo abbiamo visto applicare negli integrali per scomposizione t t2 + 1 - 1 = --------- + 2n ------------- dt = (t2 + 1)n (t2 + 1)n+1 Spezzo l'integrale in due parti t t2 + 1 - 1 = --------- + 2n ------------- dt + 2n ------------- dt = (t2 + 1)n (t2 + 1)n+1 (t2 + 1)n+1 Nel primo integrale posso semplificare numeratore e denominatore t 1 - 1 = --------- + 2n ------------- dt + 2n ------------- dt = (t2 + 1)n (t2 + 1)n (t2 + 1)n+1 Ho ottenuto un integrale che a meno della costante e' uguale a quello di partenza: questo mi serve per trovare la formula (qualcosa di simile avevamo visto nell'integrazione per ricorrenza 1 t 1 1 ------------ dt = --------- + 2n ------------- dt - 2n ------------ dt = (t2 + 1)n (t2 + 1)n (t2 + 1)n (t2 + 1)n+1 Porto l'ultimo integrale prima dell'uguale e sommo i due integrali in blu (basta sommare le costanti) 1 t 1 2n ------------ dt = --------- + (2n-1) ------------- dt (t2 + 1)n+1 (t2 + 1)n (t2 + 1)n Ricavo il primo integrale dividendo tutto per 2n 1 t 2n - 1 1 ------------ dt = ------------- + ------------ ------------- dt (t2 + 1)n+1 2n(t2 + 1)n 2n (t2 + 1)n Questa e' una forma per ricorrenza: mi permette di conoscere l'integrale conoscendo un integrale di grado inferiore nelle variabili: riferendolo a quello che vogliamo trovare cioe' sostituendo a n+1 la n ed alla n sostituendo n-1 otteniamo quello che cercavamo: 1 t 2(n-1) - 1 1 ------------ dt = ------------- + ------------ ------------- dt (t2 + 1)n 2(n-1)(t2 + 1)n-1 2(n-1) (t2 + 1)n-1 cioe' 1 t 2n-3 1 ------------ dt = ------------- + ------------ ------------- dt (t2 + 1)n 2(n-1)(t2 + 1)n-1 2(n-1) (t2 + 1)n-1 ricordando che ho x + p/2 = kt e che k vale 4q - p2 k = ----------- 4 avro' che 2x + p t = ----------- (4q-p2) Conviene lasciarlo cosi' come formula ed andarlo a calcolare solo quando hai i dati numerici dell'esercizio, anche perche' per calcolarlo ci vogliono vari passaggi: Se e' di potenza 4 devo calcolare prima l'integrale con potenza 3 Per calcolare l'integrale con potenza 3 devo prima calcolare l'integrale con potenza 2 Per calcolare l'integrale con potenza 2 devo prima calcolare l'integrale con potenza 1 (che e' di tipo arcotangente) Quindi ricapitolando ottengo che l'integrale Ax + B ------------------ dx = (x2 + px + q)n e' uguale a A 2B - Ap 1 = ------------------ + --------------------------------- -------------- dt 2(1 - n)(x2 + px + q)n-1 2(  4q - p2  )2n-1 ----------- 4 ( t2 + 1)n con 1 t 2n-3 1 ------------ dt = ------------- + ------------ ------------- dt (t2 + 1)n 2(n-1)(t2 + 1)n-1 2(n-1) (t2 + 1)n-1 essendo 2x + p t = ----------- (4q-p2) E' abbastanza complicato?