Sviluppo in serie di alcune funzioni razionali Le serie di alcune funzioni razionali erano note gia' prima del calcolo differenziale; le propongo qui perche' oltre che ottimo esercizio mentale, forniscono un meccanismo utile per trattare alcune funzioni razionali Facciamolo su un esempio: considero la funzione razionale 1 y = -------- 1 - x Sopra tolgo e aggiungo x 1 - x + x y = -------------- 1 - x ora spezzo la frazione 1 - x x y = -------- + ------ 1 - x 1- x semplificando ottengo x y = 1 + -------- 1 - x ora tolgo e aggiungo x2 al numeratore della frazione x - x2 + x2 y = 1 + ---------------- 1 - x spezzo la frazione x - x2 x2 y = 1 + ------------ + ------------ 1 - x 1 - x Metto in evidenza la x nella prima frazione x(1-x) x2 y = 1 + ------------ + ------------ 1 - x 1 - x semplifico ed ottengo x2 y = 1 + x + ------------ 1 - x ora posso togliere e aggiungere x3 al numeratore della frazione x2 - x3 + x3 y = 1 + x + ---------------- 1 - x spezzo la frazione x2 - x3 x3 y = 1 + x + ------------ + ------------ 1 - x 1 - x Metto in evidenza x2 nella prima frazione x2(1-x) x3 y = 1 + x + ------------ + ------------ 1 - x 1 - x semplifico ed ottengo x3 y = 1 + x + x2 + ------------ 1 - x ora posso togliere e aggiungere x4 al numeratore della frazione ....... Posso continuare all'infinito ed otterro' per la mia funzione lo sviluppo 1 y = -------- = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 .......... 1 - x Per esercizio sviluppare in serie 1 y = --------        soluzione 1 + x2