esercizi

Trovare le equazioni degli asintoti per la funzione
e^x
y = ----------
log x

il campo di esistenza e' l'insieme dei valori in cui e' definita la funzione logaritmo (x>0) togliendo inoltre il valore x=1 per cui si annulla il denominatore
C.E. = ] 0 , 1[ U ] 1 , +

)
calcolo il limite nell'estremo del campo di esistenza:

	e^x	1
lim_x->0⁺	-------------	= ------ =	0
	log x	-

La funzione inizia dal punto O(0,0)

Calcolo ora il limite nel punto di discontinuita'

	e^x	e
lim_x->1	-------------	= ---- =
	log x	0

quindi la retta
x = 1
e' un asintoto verticale
Per tracciare al meglio l'andamento della funzione vicino all'asintoto calcoliamo il limite destro e sinistro della funzione nel punto di ascissa 1

limite sinistro:

	e^x	+
lim_x->1^-	-------------	= ---- =	-
	log x	-

limite destro:

	e^x	+
lim_x->1⁺	-------------	= ---- =	+
	log x	+

per calcolare limiti di questo genere basta ricordare che e^x e' sempre positiva mentre il logaritmo e' negativo per x minore di 1 ed e' positivo per x maggiore di 1, bisogna poi fare il conto dei segni

quindi il risultato e' quello della figura a destra

Per quanto riguarda l'asintoto orizzontale od obliquo facciamo il limite per x tendente a piu' infinito della funzione (solo piu' infinito perche' per valori inferiori a zero la funzione non esiste)

	e^x
lim_x->+	-------------	= +
	log x

questo limite e' particolarmente semplice calcolato con la regola di De l'Hôpital

puo' esistere l'asintoto obliquo nella forma y = mx + q, naturalmente se esistono m e q
vediamo se esiste m moltiplicando il denominatore per x

		e^x
m =	lim_x->+	------------ =
		xlog x

Per calcolare questo limite con il confronto di infiniti basta ricordare che e^x e' l'infinito di ordine superiore a tutti gli altri
Non abbiamo asintoti orizzontali ne' obliqui