esercizio Si dimostri per via elementare che, se due grandezze positive hanno somma costante, il prodotto e' massimo quando sono uguali La y sara' il prodotto cioe' y = (prima grandezza)· (seconda grandezza) chiamo x la prima grandezza: prima grandezza = x So che la somma delle due grandezze e' costante quindi la chiamo s somma delle due grandezze = s Essendo s un numero positivo assegnato ed essendo positive anche le due grandezze Devo esprimere la seconda grandezza con la x: so che prima grandezza + seconda grandezza = s seconda grandezza = s - prima grandezza seconda grandezza = s - x Scrivo la funzione y = x(s - x) y = sx - x2 calcolo la derivata prima e la pongo uguale a zero y' = s - 2x s - 2x = 0 - 2x = - s 2x = s x = s/2 trovo il valore della y in corrispondenza del valore s/2 della x y(s/2) = s·s/2 - (s/2)2 =s2/2 - s2/4 = s2/4 P(s/2 , s2/4) per vedere se si tratta di un massimo o un minimo trovo la derivata seconda e ne calcolo il valore per x = s/2 yII = -2 yII(s/2) = -2 < 0 Si tratta di un massimo come cercavamo se la prima grandezza e' s/2 la seconda sara' seconda grandezza = s - x = s - s/2 = s/2 Le due grandezze sono uguali come volevamo