esercizi

Determinare i punti di massimo, minimo per la seguente funzione in tutto l'intervallo di definizione:

y = x ln²x
invece di scrivere ln x scrivero' log x intendendo con cio' il logaritmo naturale di x

un errore abbastanza comune e' confondere log²x con log x²: sono due cose del tutto diverse:

log²x = log x · log x = (log x)²
log x² = log (x·x) = 2 log x

L'intervallo di definizione e' tutto R eccetto dove l'argomento del logaritmo e' minore od uguale a zero (ove il logaritmo non e' definito) cioe' devo considerare accettabili i valori per cui
x > 0
quindi:
C.E. = (0 , +

)
Trovo la derivata prima (derivata di un prodotto) e la pongo uguale a zero

y' = log²x + x·2log x· 1/x

y' = log²x + 2log x
log²x + 2log x = 0
log x(log x + 2) = 0 la spezzo nelle due equazioni

log x + 2 = 0 log x = -2 accettabile: corrisponde ad x= e^-2
log x = 0 x = 1 accettabile

Trovo i valori della y corrispondente sostituendo prima e^-2e poi 1 al posto di x nell'equazione di partenza
y(1) = 1 log²1 = 0
y(e^-2) = e^-2 log²e^-2 = e^-2 (-2)² = 4 e^-2

nei punti A( e^-2, 4 e^-2) e B(1 , 0) potrei avere un massimo, un minimo o un flesso
Per sapere se eabbiamo un massimo, un minimo o un flesso calcoliamo la derivata seconda:

	1		1
y^II = 2 log x ·	----	+ 2·	---
	x		x

	2		2		2
y^II =	----	log x +	---	=	---	(1 + log x)
	x		x		x

sostituisco ad x il valore e^-2

2 2

y^II(e^-2) = --- (1 + log e^-2) = --- ( 1 - 2) < 0

e^-2 e^-2

Il punto A( e^-2, 4 e^-2) e' un punto di massimo
sostituisco ad x il valore 1

2 2

y^II(1) = --- (1 + log 1) = --- ( 1 + 0) > 0

1 1

Il punto B(1,0) e' un punto di minimo