Determinare i punti di massimo, minimo e flesso orizzontale per la seguente funzione in tutto l'intervallo di definizione:         x2 - 5x + 4 y = ----------------         x2 + 5x + 4 L'intervallo di definizione e' tutto R eccetto dove si annulla il denominatore cioe' devo scartare i valori per cui x2 + 5x + 4 = 0 risolvendo x = -1 e x = -4 quindi: C.E. = ( - , -4) U (-4 , -1) U (-1, + ) Trovo la derivata prima e la pongo uguale a zero        (2x - 5)· (x2 + 5x + 4) - (x2 - 5x + 4)·(2x + 5) y' = ------------------------------------------------------------                 (x2 + 5x + 4)2          10 x2 - 40 y' = -------------------         (x2 + 5x + 4)2    x2 - 40 ------------------- = 0 (x2 + 5x + 4)2 Una frazione e' zero quando e' zero il numeratore 10x2 - 40 = 0 x2 - 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 Ho trovato due valori per cui potrei avere dei massimi, minimi o flessi Trovo i valori della y corrispondente sostituendo una volta -2 e l'altra +2 al posto di x nell'equazione di partenza               (- 2)2 - 5·(-2) + 4 y(-2) = ------------------------- = -9               (-2)2 + 5·(-2) + 4               22 - 5·2 + 4 y(2) = ----------------------- = -1/9               22 + 5·2 + 4 I punti estremanti sono: A(-2 , -9)    B(2 , -1/9) Per sapere se sono un massimi, minimi o flessi conviene studiare la derivata prima perche' essendo il denominatore sempre positivo (quadrato di due termini positivi) bastera' studiarne il numeratore y' >0 10 x2 - 40> 0 x2 - 4 > 0 verificata per valori esterni all'intervallo delle radici che sono -2 e +2 y' + + + + + + + -2 - - - - - - - - - +2 + + + + + + + + y                             Massimo       minimo Quindi A(-2 , -9) e' un Massimo e B(2 , -1/9) e' un minimo