Esercizi sulla derivata di un quoziente di funzioni Calcolare la derivata della funzione y= tangx cioe' y= sen x --------------- cos x La derivata di senx e' cosx La derivata di cosx e' - senx quindi y' = cosx·cosx - senx·(-senx) -------------------------------------- cos2x cioe' y' = cos2x + sen2x -------------------------- cos2x posso esprimere il risultato in due modi diversi: ricordando che cos2x + sen2x = 1 ho y' = 1 ------------------ cos2x Dividendo ogni termine per cos2x ho y' cos2x = ------------------ + cos2x sen2x ----------------- cos2x e quindi y' = 1 + tang2x Notiamo che abbiamo dimostrato come ottenere una derivata presente nella tabella come derivata immediata: e' piuttosto frequente richiedere come esercizio di dimostrare anche cose che si dovrebbero sapere a memoria Calcolare la derivata della funzione y= x2 + 2x + 5 ------------------ x2 - 4 La derivata di x2 + 2x + 5 e' 2x + 2 La derivata di x2 - 4 e' 2x quindi y'= (2x + 2)·(x2 - 4) -(x2 + 2x + 5)·2x ------------------------------------------------ (x2 - 4)2 Come derivata avremmo terminato ma purtroppo bisogna semplificare l'espressione e qui e' possibile rendere l'esercizio complicato quanto vogliamo; in questo caso i calcoli sono ancora abbastanza semplici, ma,in genere, per fare bene gli esercizi occorre avere una buona conoscenza dell'algebra facciamo le moltiplicazioni y'= 2x3 - 8x + 2x2 - 8 - 2x3 - 4x2 - 10x ---------------------------------------------- (x2 - 4)2 Ora sommo i termini simili y'= -2x2 - 18x - 8 ------------------------- (x2 - 4)2 Metto in evidenza -2 y'= -2(x2 + 9x + 4) ------------------------- (x2 - 4)2 Poiche' numeratore e denominatore non hanno fattori comuni questo e' il risultato finale Naturalmente e' possibile mescolare le regole come nel seguente esempio y= x2 senx ----------------- log x x2 senx e' un prodotto quindi la sua derivata e' 2x·senx + x2·cosx La derivata di log e' 1/x quindi y' = (2x·senx + x2·cosx)·logx - x2·senx ·1/x ------------------------------------------------- log2 x eseguo le moltiplicazioni e ove possibile semplifico: y' = 2x·senx·logx + x2·cosx·logx - x·senx ------------------------------------------------- log2 x posso ancora mettere in evidenza la x ed ottengo il risultato y' = x(2senx·logx + x·cosx·logx - senx) -------------------------------------------- log2 x