Dimostrazione della regola per la derivata di un quoziente Avvertenza: per una migliore visualizzazione metti la pagina a tutto schermo Voglio dimostrare che se ho        f(x) y = ---------        g(x) allora ne segue           f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x) y' = --------------------------                  g(x)2 Parto dal rapporto incrementale per la funzione        f(x) y = ---------        g(x) il rapporto incrementale vale:                   f(x + h)             f(x) limh->0   [ ---------   -   -------- ] /h =                   g(x+h)              g(x) faccio il minimo comune multiplo dentro parentesi quadre in modo da avere un' unica frazione                f(x + h)·g(x) - f(x)·g(x + h) limh->0   ----------------------------- · 1/h =                           g(x+h)·g(x) Ora tolgo e aggiungo (come per il prodotto) un termine intermedio: f(x)·g(x)                f(x + h)·g(x) - f(x)·g(x) + f(x)·g(x)-f(x)·g(x + h) limh->0   --------------------------------------------- · 1/h=                                       g(x+h)·g(x) Tra il primo ed il secondo termine al numeratore posso mettere in evidenza g(x) e fra il terzo e quarto termine - f(x): ottengo:                g(x)·[f(x + h) - f(x)] - f(x)·[g(x+h)-g(x)] limh->0   ---------------------------------------- · 1/h=                                       g(x+h)·g(x) Ora distribuisco il fattore 1/h ai due termini al numeratore                g(x)·[f(x + h) - f(x)]/h - f(x)·[g(x+h)-g(x)]/h limh->0   ------------------------------------------- =                                       g(x+h)·g(x) ora passando al limite e ricordando che limh->0 g(x+h)=g(x) segue           f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x) y' = ----------------------------                  g(x)2 come volevamo; difficile vero? piuttosto, ma nei miei 35 anni di carriera ho visto farla una volta sola e in una quinta liceo scientifico