| Purtroppo il Web non e' predisposto per scrivere le frazioni, allora , poiche' non voglio far pesare troppo queste pagine costruendo le frazioni mediante immagini e poiche' l' utilizzo di fogli di stile sarebbe per me piuttosto gravoso premetto che per le frazioni useremo la seguente convenzione: invece di scrivere: x2-4 y= ---------- x-2 scrivero' y= (x2-4) / (x-2) Torniamo ora alla forma indeterminata: e' possibile che il limite, che abbiamo da poco definito, sia cosi' inefficiente da non poter calcolare una cosa di questo genere? limx->2 (x2-4) / (x-2)= Infatti se faccio i calcoli sostituendo 2 ad x ottengo 0/0 che in matematica non ha significato Ma se la definizione di limite che abbiamo data e' valida l'errore non deve essere nel limite, ma nella funzione: infatti avremo il limite 0/0 solo se la funzione si annulla contemporaneamente al numeratore ed al denominatore, allora per calcolare il limite bastera' togliere nella funzione la causa dell'indeterminazione scomponendo numeratore e denominatore e semplificando x2-4 si scompone come (x+2)(x-2) il denominatore e' gia' scomposto (x-2) semplifico (x2-4) / (x-2)= (x+2)(x-2) / (x-2) = x+2 e faccio il limite limx->2 (x+2)= 4 Attenzione: per poter fare bene questi esercizi e' necessario saper fare bene la scomposizione di un polinomio in fattori e un ripasso non farebbe male; comunque, piu' avanti vedremo come e' possibile utilizzare le derivate per poter calcolare in modo molto semplice queste forme Proviamo un altro esercizio: calcoliamo: limx->1 (x3 -3x2 +3x-1) / (x3-1)= anche qui sostituendo 1 alla x ottengo 0/0 quindi devo scomporre il numeratore ed il denominatore e togliere la causa dell'indeterminazione x3 -3x2 +3x-1 e' il cubo di un binomio e si scompone come (x-1)3 x3 -1 e' la differenza fra due cubi e si scompone come (x-1) (x2 +x+1) semplificando ottengo limx->1 (x3 -3x2 +3x-1) / (x3-1)= =limx->1 (x-1)3 / (x-1)(x2 +x+1)= =limx->1 (x-1)2 / (x2 +x+1)= 0/3 = 0 |
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