Dimostriamo che la relazione in Z x Z tale che
(a,b) Rel (c,d) se a·d = c·b
e' una relazione di equivalenza
devo dimostrare che e'
  1. Riflessiva
  2. Simmetrica
  3. Transitiva


  1. E' riflessiva: infatti
    (a,b) Rel (a,b)
    e' sempre vera perche'
    a·b = a·b

  2. E' simmetrica, devo dimostrare che
    (a,b) Rel (c,d) implica (c,d) Rel (a,b)
    si ha
    a·d = c·b
    per la proprieta' simmetrica dell'uguaglianza ho
    c·b = a·d
    Quindi vale
    (c,d) Rel (a,b)
    come volevamo

  3. Mostriamo che e' transitiva: devo mostrare che da
    (a,b) Rel (c,d) e (c,d) Rel (e,f) segue (a,b) Rel (e,f)
    Abbiamo, per le due relazioni:
    a·d = c·b
    c·f = e·d
    Moltiplichiamo in verticale; otteniamo
    a·d · c·f = c·b · e·d
    Utilizzando la regola di cancellazione togliamo i termini uguali da parti opposte dell'uguale ed otteniamo
    a·f = b·e
    e per la proprieta' simmetrica della moltiplicazione posso scrivere
    a·f = e·b
    quindi vale
    (a,b) Rel (e,f)
    come volevamo