Funzione esponenziale con esponente immaginario Partiamo dallo sviluppo in serie della funzione esponeziale: ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + ....... Sostituiamo ad x il numero immaginario iy ed otteniamo eiy = 1 + iy + i2y2 2! + i3y3 3! + i4y4 4! + i5y5 5! + ....... e, sostituendo alle potenze di i i relativi valori, abbiamo eiy = 1 + iy - y2 2! - iy3 3! + y4 4! + iy5 5! + ....... Ora separiamo i termini con la i dai termini senza la i eiy = 1 - y2 2! + y4 4! ....... + iy - iy3 3! + iy5 5! + ....... Raccolgo la i ed ottengo eiy = 1 - y2 2! + y4 4! ....... + i (y - y3 3! + y5 5! + ....... ) Ora i termini prima delle parentesi sono lo sviluppo della funzione z = cos y ed i termini dentro parentesi sono lo sviluppo della funzione z = sen y, quindi vale: eiy = cos y + i sen y Questa e' la formula che stavamo cercando