Radici n-esime dell'unita' mediante la formula (in gradi)
x6 = 1
Devo trasformare 1 nella sua forma trigonometrica
trasformazione
1 = cos 0° + i sen 0°
Essendo in campo complesso indico la variabile con w
Devo risolvere l'equazione
w6 = cos 0° + i sen 0°
applico la formula
(w6
)k+1 =
() ( cos
|
+ k360°
--------------- 6 |
+ i sen |
+ k360°
--------------- 6 |
) |
Con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
= 0°
e
=
1
ed ottengo:
- per k = 0
(w6
)0+1 =
1 (
cos
|
0° + 0·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 0·360°
--------------- 6 |
w1 =
cos
|
0°
---- 6 |
+ i sen |
0°
---- = 6 |
= cos 0° + i sen 0° = 1 + i0 = 1
- per k = 1
(w6
)1+1 =
1 (
cos
|
0° + 1·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 1·360°
--------------- 6 |
w2 =
cos
|
360°
------- 6 |
+ i sen |
360°
------- = 6 |
= cos 60° + i sen 60° =
= 1/2 + i3 /2 = |
1 + i3 --------
2 |
- per k = 2
(w6
)2+1 =
1 (
cos
|
0° + 2·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 2·360°
--------------- 6 |
) |
w3 =
cos
|
720°
------- 6 |
+ i sen |
720°
------- = 6 |
= cos 120° + i sen 120° =
= -1/2 + i3 /2 = |
-1 + i3 --------
2 |
- per k = 3
(w6
)3+1 =
1 (
cos
|
0° + 3·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 3·360°
--------------- 6 |
) |
w4 =
cos
|
1080°
------- 6 |
+ i sen |
1080°
------- = 6 |
= cos 180° + i sen 180° =
-1 + i·0 = -1
- per k = 4
(w6
)4+1 =
1 (
cos
|
0° + 4·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 4·360°
--------------- 6 |
) |
w5 =
cos
|
1440°
------- 6 |
+ i sen |
1440°
------- = 6 |
= cos 240° + i sen 240° =
= -1/2 - i3 /2 = |
-1 - i3 --------
2 |
- per k = 5
(w6
)5+1 =
1 (
cos
|
0° + 5·360°
--------------- 6 |
+ i sen |
0° + 5·360°
--------------- 6 |
) |
w6 =
cos
|
1800°
------- 6 |
+ i sen |
1800°
------- = 6 |
= cos 300° + i sen 300° =
= 1/2 - i3 /2 = |
1 - i3 --------
2 |
quindi, raccogliendo abbiamo l'ordine e' diverso da quello
delle soluzioni trovate con il metodo algebrico: nota che il metodo della
formula ti da' le soluzioni ordinate in senso antiorario sulla
circonferenza
w1 = 1
w2 = |
1 + i3 --------
2 |
w3 = |
-1 + i3 --------
2 |
w4 = -1
w5 = |
-1 - i3 --------
2 |
w6 = |
1 - i3 --------
2 |
|