Radici n-esime dell'unita' mediante la formula (in gradi)

x6 = 1
Devo trasformare 1 nella sua forma trigonometrica      trasformazione
1 = cos 0° + i sen 0°
Essendo in campo complesso indico la variabile con w
Devo risolvere l'equazione
w6 = cos 0° + i sen 0°
applico la formula
(w6 )k+1 = ()  ( cos + k360°
---------------
6
+ i sen + k360°
---------------
6
)
Con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5     = 0°     e     = 1
ed ottengo:
  • per k = 0
    (w6 )0+1 = 1   ( cos 0° + 0·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 0·360°
    ---------------
    6
    w1 = cos
    ----
    6
    + i sen
    ---- =
    6
    = cos 0° + i sen 0° = 1 + i0 = 1


  • per k = 1
    (w6 )1+1 = 1   ( cos 0° + 1·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 1·360°
    ---------------
    6
    w2 = cos 360°
    -------
    6
    + i sen 360°
    ------- =
    6
    = cos 60° + i sen 60° =
    = 1/2 + i3 /2 = 1 + i3
    --------
    2



  • per k = 2
    (w6 )2+1 = 1   ( cos 0° + 2·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 2·360°
    ---------------
    6
    )
    w3 = cos 720°
    -------
    6
    + i sen 720°
    ------- =
    6
    = cos 120° + i sen 120° =
    = -1/2 + i3 /2 = -1 + i3
    --------
    2



  • per k = 3
    (w6 )3+1 = 1   ( cos 0° + 3·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 3·360°
    ---------------
    6
    )
    w4 = cos 1080°
    -------
    6
    + i sen 1080°
    ------- =
    6
    = cos 180° + i sen 180° = -1 + i·0 = -1


  • per k = 4
    (w6 )4+1 = 1   ( cos 0° + 4·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 4·360°
    ---------------
    6
    )
    w5 = cos 1440°
    -------
    6
    + i sen 1440°
    ------- =
    6
    = cos 240° + i sen 240° =
    = -1/2 - i3 /2 = -1 - i3
    --------
    2



  • per k = 5
    (w6 )5+1 = 1   ( cos 0° + 5·360°
    ---------------
    6
    + i sen 0° + 5·360°
    ---------------
    6
    )
    w6 = cos 1800°
    -------
    6
    + i sen 1800°
    ------- =
    6
    = cos 300° + i sen 300° =
    = 1/2 - i3 /2 = 1 - i3
    --------
    2



quindi, raccogliendo abbiamo
l'ordine e' diverso da quello delle soluzioni trovate con il metodo algebrico: nota che il metodo della formula ti da' le soluzioni ordinate in senso antiorario sulla circonferenza


w1 = 1

w2 =   1 + i3
--------
2

w3 =   -1 + i3
--------
2

w4 = -1
w5 =   -1 - i3
--------
2

w6 =   1 - i3
--------
2