Potenza fra numeri reali con esponente reale


Dobbiamo studiare
ar       con a ed r numeri reali
Qui dobbiamo distinguere tre casi diversi
  1. a > 1
    Se la base e' maggiore di 1 allora possiamo procedere come nel caso del prodotto (ricorda che la potenza e' un prodotto ripetuto):
    Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe inferiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe inferiore di r
    Come classe superiore prenderemo i numeri della classe superiore di a elevati ai numeri della classe superiore di r
  2. 0 <a < 1
    Qui abbiamo il problema che elevando un numero inferiore ad 1 a potenza crescente il risultato diminuisce, quindi dobbiamo scambiare i numeri positivi della classe superiore con i numeri positivi della classe inferiore cioe':
    Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe superiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe superiore di r
    Come classe superiore prenderemo i numeri della classe inferiore di a elevati ai numeri della classe inferiore di r
  3. a < 0
    In queso caso non possiamo definire la potenza:
    la potenza reale non razionale di un numero reale negativo non e' definita
    In pratica, per i calcoli, non ce ne importa niente perche' vedremo in analisi che e' possibile sostituire ad un numero il suo limite e quindi possiamo approssimare quanto vogliamo la potenza ad esponente reale con la potenza ad esponente razionale

definiamo anche i casi particolari:
1r = 1
0r = 0
00 = 1